74.
吉布斯采样的临界行为是计算相变理论所关注的核心问题. 以硬核模型这一经典模型为例, 研究了吉布斯采样在临界点前的快速收敛. 在该模型中, 给定一个最大度为Δ≥3的
n顶点图
G以及参数
λ≥0, 则图
G中的每个独立集
S以正比于
λ|S|的概率被采样. 研究了实现这一采样的经典吉布斯采样算法——Glauber dynamics, 在临界条件
λ<(Δ–1)
Δ–1/(Δ–2)
Δ下, 证明了该采样过程的马尔可夫链具有渐进最优的谱隙为Ω(1/
n), 因此这一经典采样算法在该临界点前始终快速收敛.吉布斯采样过程在临界点前的快速收敛是马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC) 理论中的一类重要问题. 针对硬核模型上的这一问题, 此前已有若干依赖高等数学工具的证明. 为这个重要问题提供了一个简化的组合证明, 引入计算复杂性归约的思想来分析采样过程的收敛速率.… …
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